Psychophysik : Darstellung der Methoden der experimentellen Psychologie / von W. Wirth.

  • Wirth, Wilhelm, 1876-1952.
Date:
1912
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Credit: Psychophysik : Darstellung der Methoden der experimentellen Psychologie / von W. Wirth. Source: Wellcome Collection.

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    klein genug sei, um den Verlauf der Kurve von D bis C noch als annähernd geradlinig betrachten zu lassen, so wäre nach dem elementaren Satz für den Flächeninhalt eines Paralleltrapezes mit den parallelen Seiten A D und C B und der Höhe A B = i zx ==yf (x)2 d x = -g (AD -j- B C) = i • w, [llj da in diesem Falle die zu dem Mittelpunkt x des Intervalles gehörige Ordi- nate w die Mittellinie des Paralleltrapezes mit dem Flächeninhalt w = |-(AD + BC) [12] wäre. Somit ergibt sich also hei einem vom Zufall abgestuften, an sich stetigen Argument in der Tat eine genügende Proportionalität der relativen Dichtigkeiten gleich großer1) Intervalle zu den r. H. einzelner Beobachtungswerte x, die in der Mitte der Intervalle gelegen sind. Der Fehler, der bei dieser Voraussetzung eines geradlinigen Verlaufes von f (x) zwischen den Grenzen des Intervalles begangen wird, ist seinem absoluten Werte nach von der Stärke und in seinem Vorzeichen von der Richtung der Krümmung der Kurve f (x) abhängig. Da Fig. 1 zugleich den häufigsten Verlauf eines vollständigen K.-G. in diesen beiden Hinsichten andeutet, so sieht man, daß zwar der absolute Betrag bei kleinem Intervalle meist an keinem Punkte sehr groß ist, aber in dem mittleren, gegen die x-Achse konkaven Teil negativ, in den äußeren, bei Eo und Eu gelegenen Flanken dagegen positiv ausfällt. Eine genauere Aussage über die mögliche Korrektur dieser kleinen Fehler kann aber natürlich erst gemacht werden, wenn man wirklich einen bestimmten Verlauf der Kurve f (x) im ganzen voraussetzen kann. Ein solches vollständiges Bild der Funktion läßt sich nun nach der Feststellung dieser einzelnen Punkte der Kurve, die den In- tervallmitten Xj, x2 usw. zugeordnet sind, ohne spezielle Voraussetzungen über K.-G. überhaupt, also rein immanent aus den beobachteten Dichtigkeiten 1) Da Gleichung [11] für jedes beliebige Intervall i gilt, wenn es nur klein genug ist, um CD als annähernd geradlinig betrachten zu lassen, so wäre natürlich eine Reduktion der Ordinaten vorzunehmen, falls zunächst die relativen Dichtigkeiten für etwas ver- schiedene Intervalle festgestellt worden wären. Da [13] i w = i, • w • i , h so ist die der vorigen Berechnung aus i entsprechende Ordinate w aus der dem Intervall ii entsprechenden relativen Dichtigkeit z'x durch Multiplikation mit ! zu finden. Bei durchweg verschiedenen Intervallen i,, i2 . . . usw. wären also die auf ein gleiches i bezogenen Ordinaten ihrer nicht mehr „äquidistanten“ Mittelpunkte xl5 x2 ,.. . x2 den ix reziprok: [14] f(x) = f lx • Zx.